ULL!!....SANGAKUS!!       

 

 

Després del sudoku... el SANGAKU!!!

 

Després de la fervorosa moda dels sudokus que va nàixer al Japó i s'ha estés a tot el planeta, volem mostrar-vos una nova curiositat procedent del Japó (una altra vegada), S'anomena SANGAKU i té una part de misticisme religiós i una part de misteri matemàtic associat a la resolució de problemes sobre construccions geomètriques més o menys complexes.

 

Els SANGAKUS són pastilles de fusta que contenen problemes al voltant de figures inscrites en un cercle i tangents entre sí (També es poden utilitzar altres figures com polígons regulars o poliedres o esferes). Les formes de les figures inscrites poden ser molt variades. Eren construïdes pels matemàtics japonesos per resoldre problemes arquitectònics rel.lacionats amb la construcció i ornamentació dels temples antics. La seua procedència és de l’època Edo (1603 - 1867)

 

En este apartat extret de la revista PROBLEMES OLIMPICS us proposem alguns sangakus (els que hem trobat més fàcils, encara que alguns són realment complicats). Es tracta d'un material cedit pel nostre company Ricard Peiró, a qui agraïm la seua col·laboració.  Ànim i a per ells!! Envia'ns les teues solucions a l’adreça mauriciocontreras@wanadoo.es . Publicarem les millors. 

 

 

 

·         SANGAKU 1

 

Un triangle equilàter està dibuixat al defora del costat superior del quadrat ABCD de costat 1 com mostra la figura. Si una circumferència passa pels punts A, B i E. Quin és el radi del cercle.

 

 

 

 

·         SANGAKU 2

 

En quina d'estes figures és major la suma de les àrees del quadrat i els quatre cercles interiors?

 

          

 

·         SANGAKU 3

 

O1 és un cercle amb diàmetre BP i el punt mitjà de BP és O1. Els cercles O2, O3 i O4 de radis r2, r3 i r4 són tangents entre si i tangents al cercle exterior. ABO1 és un triangle equilàter que toca a la circumferència en els punts A i B i és tangent als cercles interiors tal com mostra la figura. Troba r3 en funció de r2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·         SANGAKU 4

 

La següent figura és simètrica. Els cercles O1 , O2 i O3 , de radis r1, r2 i r3 estan entre els dos cercles concèntrics de centre O. Cadascun és tangent a tals cercles i, a més, O2 i O3 són tangents al segment AO=a. Troba r2 en funció de a i r1.

 

 

·         SANGAKU 5

 

El triangle ABC és rectangle en B i BD és la perpendicular de B a AC. El cercle O de radi r esta inscrit en el triangle ABC. Si d=2r, ADx2r=a, BDx2r=b, troba r en funció de a i b.

 

 

 

 

 

 

·         SANGAKU 6

 

El segment CH=h és perpendicular a AB, que és una corda del cercle O1, de radi r1. Els cercles O2 i O3 , de radis r2 i r3, són tangents interiors a O1 i tangents als segments AB i CH, com es mostra en la figura. Troba r1 en funció de r2, r3 i h.

 

 

 

         

 

·         SANGAKU 7

 

El costat AC del rectangle ACC'A' és 2r2, sent r2 el radi del cercle S2. N és el punt mitjà del costat AC. S és un cercle de radi r1, tangent a AC en el punt N i tangent al cercle S de radi R. Els vèrtexs a i C pertanyen al cercle S. El cercle S2 és tangent al costat en el punt M. Troba r1 en funció de R.

 

 

 

 

·         SANGAKU 8

 

BD=a és una corda de la circumferència O de radi R. ABCD és un rombe i toca a la circumferència O en A, B i D. EF és una corda de la circumferència O. G és el punt mitjà del menor arc EF i H és el punt mitjà del segment EF.Les circumferències O1 i O2, ambdós de ràdio r, són tangents entre si i toquen als segments BC, CD i EF. Troba la distància GH=d en funció de a i r.

 

 

 

 

·         SANGAKU 9

 

El triangle ABC és isòsceles i la circumferència O1, de radi r1, està inscrita en ell, sent D i E els punts de tangència. La circumferència O2, de radi r2, està inscrita en el triangle ADE. La circumferència O3, de radi r3, és tangent exterior a O1 i tangent interior a O2. Troba r2 en funció de r3.

 

              

 

·         SANGAKU 10

 

El centre del cercle O de radi r és el punt d'intersecció de les dos diagonals del quadrat. Q és el punt mitjà d'AD i ‘AD' és perpendicular a PQ. La suma de PQ2 i l'àrea ombrejada és 9.8, i la suma de  i 2pr és 14.8. Si prenem p=3.2, troba el valor de PQ.

 

 

 

 

·         SANGAKU 11

 

El triangle ABC és isòsceles amb AB=AC i la circumferència O1, de radi r1, està inscrita en el triangle ABC. La circumferència O2, de radi r2, és tangent a O1 i és tangent a AB i AC. La circumferència O3, de radi r3, es  tangent a O2 i toca a AB i AC. La circumferència O4, de radi r4, és tangent a O3 i toca a AB i AC. Suposem que AB=AC=a és constant i prenem BC=x com a variable. Si n és constant, troba el valor de x quan el radi Rn d'un cercle superior On és màxim.

 

 

·         SANGAKU 12

 

AB=a és una corda del cercle O de radi R. N és el punt mitjà de l'arc AB i M és el punt mitjà de la corda AB. Els cercles O1, O2, O3, O4 i O5 tenen de radi r, són tangents entre si i tangents al cercle O. A més, O1 i O5 són tangents a la recta l. Troba l'equació que relaciona a, r i R.

 

 

 

·         SANGAKU 13

 

La següent figura és simètrica. Els cercles O2, de radi r2, i O3, de radi r3, són tangents entre si i O2 és tangent interior a O1. Els cercles O4, O5, O6 i O7, de radi r3, són tangents a O1, O2 i O3. Troba r2 en funció de r1.

 

 

      

 

Una tableta sangaku trobada al Japó

Procedent  del període Edo (1603-1867)