RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS E.S.O.

 

(13, 14, 15 ó 16 años)

 

1.- LATIDOS DEL CORAZÓN

 

Estima el número de latidos del corazón en el transcurso de una vida humana normal.

 

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2.- MOSAICO DE CÍRCULOS

 

Sea Q un cuadrado de lado igual a 1 m, y sea C el círculo inscrito en este cuadrado. Si se parte Q en cuadrados más pequeños y se consideran los círculos inscritos respectivos, se obtiene la siguiente figura:

 

             

 

Aumentando tanto como puedas imaginar el número de cuadraditos, el área de parte coloreada (que está cubierta por los círculos) ¿aumenta, disminuye o es siempre la misma? ¿En qué se transforma esta cuestión en el espacio?

 

 

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3.- EL HILO

 

Un hilo está enrollado regularmente alrededor de una vela cilíndrica. El hilo da exactamente 4 vueltas alrededor de la vela, y sobre toda su longitud. La circunferencia de la viga tiene 4 cm y su longitud es 12 cm. Halla la longitud del hilo y justificar vuestro trabajo.

 

 

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4.- SIETE CIUDADES

 

Hay siete ciudades en la comarca donde vive Juan que están conectadas por algunas carreteras como muestra el esquema siguiente (el esquema no está hecho a escala). Las distancias se indican en kilómetros. Se quiere trazar un recorrido tal que se pueda ir de cualquier ciudad a cualquiera otra, de forma que el camino esté compuesto por algunas carreteras de las indicadas, que conecte origen y destino directa o indirectamente y que el número total de kilómetros recorridos sea el menor posible. Halla un conjunto de rutas que cumplan las condiciones señaladas.

 

 

 

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5.- CUBO TRUNCADO

 

He aquí una representación en perspectiva de un cubo truncado (se ha cortado el cubo siguiendo un plano que pasa por los puntos P, Q y R). Se pide construir la intersección de este cubo con el plano que pasa por el punto I y es paralelo al plano (PQR).

 

 

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6.- PALO CORTO

 

Cinco personas juegan al palo más corto. (Por medio de 5 palos, de los que hay 4 de la misma longitud y uno más corto que los otros. Los palos se presentan de forma idéntica a los jugadores, que no pueden comparar sus longitudes. Los jugadores eligen un palo por turno, sin mostrarlo. El ganador es aquél que elige el palo más corto).

 

La última persona que debe tomar el palo que queda afirma que está en desventaja, porque la suerte no le deja elegir. ¿Qué pensais vosotros?

 

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7.- LANZAMIENTO DE DADOS

 

Se lanzan simultáneamente tres dados indiscernibles. ¿Hay más probabilidades de obtener un trio (tres caras idénticas) o un 4-2-1?. ¿Vuestra respuesta es diferente si se lanzan los dados sucesivamente?.

 

 

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8.- LANZAMIENTO DE UN DADO

 

¿Cuántas veces hay que lanzar un dado para tener una probabilidad de 95 sobre 100 de obtener un seis?

 

 

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9.- LA HERENCIA

 

 

Dos hermanos heredan un terreno rectangular. Para partir este terreno en dos terrenos de la misma área, un vecino les sugiere plantar un piquete no importa donde en el terreno y trazar segmentos uniendo el piquete con cada uno de los vértices del rectángulo. Uno de los hermanos tomará la parte gris de la figura, el otro la parte blanca. ¿Las dos partes son verdaderamente iguales?. Justificar vuestra respuesta. Estudiar lo que pasa si la figura representa ahora una pirámide vista por debajo (por ejemplo el tejado de una casa).

 

 

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10.- UNA EXTRAÑA ESPIRAL

 

Un semicírculo de radio 1 está descrito a partir de un punto D. Está también prolongado por un semicírculo de radio 1/2, y así sucesivamente, de forma que cada semicírculo tiene un radio mitad del precedente. ¿Cuál es la distancia del punto de partida D al punto de llegada?. ¿Cuál es la longitud total del camino?.

 

 

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11.- LA MOSCA

 

El rectángulo pequeño, a la derecha, es una fotografía del rectángulo grande de la izquierda.

 

En el momento en que se ha tomado la foto, una mosca se ha posado sobre el rectángulo grande.

La mosca está representada por .

 

¿Podrías poner la imagen de la mosca en el lugar que le corresponde en la foto? Explica tu método.

 

         

 

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12.- LA VENDIMIA

 

Son los vendimiadores!

 

Cada vendimiador recibe una suma de 60 euros y una caja de uva por una jornada de trabajo de 8 horas. Cierto día, tras haber trabajado 5 horas, Pablo sebe regresar a su casa. Por su trabajo de esta jornada, Pablo ha recibido 30 euros y una caja de uvas. ¿Cuál es el valor de una caja de uva? Explica tu razonamiento.

 

                       

 

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13.- MESA REDONDA

 

En un comedor, todas las sillas alrededor de una mesa redonda están ocupadas. 7 mujeres tienen una mujer a su derecha. 12 mujeres tienen un hombre a su derecha. 3 hombres de cada 4 tienen una mujer a su derecha. ¿Cuántos invitados hay alrededor de la mesa (hombres y mujeres)? Explica tu razonamiento.

 

 

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14.- BORDADOS

 

Un artesano teje pequeños tapices cuadrados. Con ellos, quiere crear un gran tapiz que estaría formado por cuadrados grises sobre el borde de los cuadados blancos del interior.

 

Paul, su aprendiz, le propone el modelo de la siguiente figura, modelo que no conviene porque tiene 15 cuadrados blancos en el interior y 20 cuadrados grises en el borde. ¿Es posible crear un tapiz usando el mismo número de cuadrados pequeños grises sobre el borde que de cuadrados blancos en el interior? Explica tu respuesta.

 

 

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15.- NÚMEROS Y CÍRCULOS

 

¿Se pueden colocar los números 1, 2, ... , 9 en los huecos formados por los cinco círculos, de forma que se obtenga la misma suma en el interior de cada círculo? (Dos colocaciones simétricas no se consideran diferentes)

 

 

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16.- EL GATO

 

Un geométra va a construir la mediatriz del segmento [AB] cuando su gato salta sobre su mesa de trabajo y se sitúa entre los puntos A y B. ¿Puede entonces dibujar dos trozos de la mediatriz [AB] sin molestar al gato? (su regla y su compás son tan grandes como sea necesario)

 

 

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17.- TRANSPORTE

 

El lunes, la fábrica SAVONEX ha producido 291 cajas de jabón. Para transportar estas cajas, el camión de la fábrica ha hecho varios viajes totalmente lleno. Quedan todavía 3 cajas por transportar que el chófer decide dejar para el dia siguiente.

 

El dia siguiente, martes, con la producciòn del día, hay en total 229 cajas de jabón para transportar. El camión hace 2 viajes menos que la víspera, siempre totalmente lleno, salvo en el último viaje donde queda espacio para 11 cajas.

 

¿Cuántos viajes ha hecho el camión el segundo día y cuántas cajas puede transportar el camión en cada viaje?

 

 

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18.- EL TÚNEL

 

Cuatro personas deben atravesar un tunel estrecho y oscuro. Poseen una antorcha que puede funcionar 18 minutos. Necesitan, respectivamente. 1, 2, 5, y 10 minutos para atravesar el túnel. Sin antorcha, es imposible avanzar en el túnel. Además, el túnel es tan estrecho que solamente dos personas como máximo pueden encontrarse en él al mismo tiempo. ¿Es posible que las cuatro personas atraviesen el túnel?

 

 

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19.- LA PIRÁMIDE

 

 

Esta pirámide de números continua bajo las nubes. La suma total de los números del primer piso es 29791. ¿Cuántos pisos de números tiene esta pirámide? Explica tu respuesta.

 

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20.- LA CAJA Y LOS CUBOS

 

Marta tiene la costumbre de guardar sus cubos de construccion, todos de iguales dimensiones, en una caja de cartón con la forma de un prisma de base cuadrada.

 

Cuando guardaba bien sus cubos, la caja estaba llena y no tenía ningún espacio libre.

 

Desgraciadamente, con el tiempo, su caja se rompió y Marta tuvo que reemplazarla.

 

Ella ha encontrado una cada de la misma altura, pero con la base rectangular. En su nueva caja, puede guardar un cuarto más de cubos a lo largo y un cuarto menos a lo ancho.

 

Por fin, cuando su nueva caja está llena, le quedan 12 cubos fuera de la caja. ¿Cuántos cubos tiene Marta? Explica tu razonamiento.

 

 

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21.- BISECTRICES

 

Miguel quiere construir un triángulo que tenga dos bisectrices perpendiculares. ¿Es esto posible?

 

 

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22.- LA BARRA

 

Un recipiente cilíndrico tiene 8 cm de altura y 6 cm de diámetro. El líquido en el recipiente tiene una altura de 5 cm. Una barra, AD, de 15 cm de longitud, se coloca en este recipiente como se indica en la figura.

 

La barra está colocada de forma que la distancia AC sea tan grande como sea posible. La barra toca al líquido hasta el punto B. ¿Cuál es la longitud del segmento AB (parte sumergida de la barra)?

 

 

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23.- UN KILÓMETRO

 

¿Puedes correr 1 km en un minuto? ¿Alguno de tus compañeros puede hacerlo? Explica tus respuestas

 

 

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24.- AUTOESCUELA

 

En la autoescuela ALPHA, las clases teóricas y las lecciones de conducir obligatorias (curso completo) cuestan juntas 2300 SEK. Cada lección de conducir suplementaria cuesta 220 SEK.

 

a)                  Sara acaba de recibir su permiso de conducir. Ha pagado en total 4060 SEK en la autoescuela. ¿Cuántas lecciones de conducir complementarias ha tomado?

 

b)                 Escribe la relación que describe mejor cuánto debes pagar en la autoescuela si cursas el curso completo más X lecciones de conducir complementarias.

 

c)                  Qué comentarios puedes hacer?

 

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25.- CÁLCULO MÁGICO

 

Un profesor dice a sus alumnos:

 

“Pensad un número, sumarle 15, multiplicad el resultado por 4, despues restarle 8. Dividid el resultado por 4 y, finalmente, restad 12.

Si me dais vuestro resultado, puedo deciros el número que pensásteis al principio”.

 

a)                  Mónica ha obtenido 5 como resultado final. ¿Qué número pensó al principio?

 

b)                 Demuestra que el método del profesor funciona para todos los números.

 

 

 

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26.- COCHES DE OCASIÓN

 

Ana, una periodista eventual, debe escribir un artículo sobre los precios de los automóviles de ocasión. Ha elegido los modelos Volvo 245 y BMW 300 para su estudio. En el periódico especializado ha encontrado una publicidad relativa a una venta de coches de ocasión (las tablas que se reproducen a continuación)

 

a)                  Para ayudar a Ana a escribir su artículo, ¿puedes hacer un diagrama representando los precios de un Volvo 245 de ocasión según el año del modelo?

 

b)                 Ana ha creído escuchar que el valor de los Volvo 245 disminuye una media de 8000 Kr por año. ¿Esta regla es compatible con los datos reproducidos en las tablas?

 

c)                  ¿Puedes encontrar una regla similar para el BMW 300?

 

d)                 Si tuvieras que elegir uno de estos dos modelos, ¿este estudio podría serte útil? ¿Cómo?

 

 

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27.- PIZZA

 

Una pizza circular para una persona tiene un diámetro de 21 cm. ¿Cuál debería ser el diámetro de una pizza para dos personas?

 

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28.- VALORES DE p

 

A lo largo de la Historia, los matemáticos han intentado encontrar aproximaciones prácticas de p. He aquí algunos de los valores que se suelen utilizar:

 

a)                  ¿Cuál de estos valores es más próximo a p? ¿Cuál es el más alejado?

 

b)                 Si se utiliza el valor egipcio para calcular el perímetro de un círculo de diámetro 125 m, ¿qué error se comete? Da un valor aproximado de este error, con una precisión de 1 cm.

 

 

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29.- CAMBIO DE SITIO

 

·        Elige un número entero de dos cifras

84

·        Cambia la posición de las dos cifras

48

·        Calcula la diferencia entre el más grande y el más pequeño de los dos números                                              

84-48=36

·        Cambia la posicion de las dos cifras del número obtenido

63

·        Calcula la diferencia entre el más grande y el más pequeño de los dos números                                              

63-36=27

·        Cambia la posición de las dos cifras

 

·        Etc...

 

 

Continua mientras puedas... ¿Qué observas? ¿Qué ocurre si partes de otro número? Explora esta situacion.

 

 

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30.- POBLACIÓN MUNDIAL

 

La población del Globo se estima actualmente en 6000000000 habitantes. Según datos recientes, la tasa de crecimiento anual de la población mundial es del 1,7%.

 

Suponiendo que esta tasa permanece igual en el curso de los próximos años, escribe una fórmula que exprese la población mundial P1, P2, ... , Pn, que se puede prever en 1, 2, ... , n años.

 

En estas condiciones ¿en cuántos años se habrá duplicado la población mundial?

 

 

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31.- UN POLÍGONO

 

Un polígono es regular si todos sus lados tienen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales. ENTONCES: Un polígono es no regular (irregular) si y solamente si:

Todos sus lados y todos sus ángulos son diferentes

Todos sus lados o todos sus ángulos son diferentes

Al menos dos de sus lados y al menos dos de sus ángulos son diferentes

Al menos dos de sus lados o al menos dos de sus ángulos son diferentes.

 

Elige la o las respuestas correctas.

 

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32.- HELADOS

 

Un niño ha elegido 10 helados, todos al mismo precio. Si cada helado hubiese costado 5 céntimos menos, le habrían dado dos helados más por el mismo precio total. ¿Cuál es el precio de un helado?

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33.- CRUCE DE TRENES

 

Un tren parte de Détroit para Chicago cada hora (es decir, a las 0 horas, a la 1, a las 2 horas, etc...). El viaje dura 6 horas. En las mismas condiciones, todas las horas, un tren parte de Chicago para Détroit.

 

Si tomas el tren en Détroit para ir a Chicago, ¿cuántos trenes procedentes de Chicago se cruzarán con el tuyo? (No se cuentan los trenes cruzados en la estación de Détroit o de Chicago)

 

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34.- LAS BOLAS

 

En tres cajas A, B y C, se han repartido bolas blancas, negras y rojas. Se trata de hallar, utilizando las siguientes informaciones, cuántas bolas de cada color hay en cada una de las cajas.

 

·        En la caja B, hay 5 bolas rojas y tantas bolas negras como en la caja A

 

·        No hay bolas blancas en la caja C

 

·        El número de bolas negras de la caja C es igual al de bolas blancas de la caja A.

 

·        En la caja C hay tantas bolas rojas como en la caja B.

 

·        En la caja A, el número de bolas rojas es igual al de bolas negras.

 

·        En la caja C, hay en total 12 bolas.

 

·        En las cajas A y B, hay en total 7 bolas rojas.

 

·        En la caja B, hay tantas bolas blancas como en la caja C

 

Intenta presentar tu respuesta del modo más claro posible y no olvides explicar y justificar tu solución.

 

 

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35.- CUESTIÓN DE LÓGICA

 

Tres pesonas, de tres nacionalidades diferentes, habitan las tres primeras casas de una calle. Cada casa tiene un color diferente y cada persona tiene un oficio diferente.

 

A.- El Francés habita en la cadasa roja

 

B.- El Alemán es músico

 

C.- El Inglés habita en la casa de en medio

 

D.- La casa roja está al lado de la verde

 

E.- El escritor habita la primera casa a la izquierda

 

¿Cuál es la nacionalidad del escritor y quién vive en la casa amarilla? No te olvides de explicar tu método

 

 

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36.- CUBO Y TRIÁNGULOS

 

Se considera un cubo ABCDEFGH.

 

El punto I es el punto de intersección de los segmentos [FC] y [GB].

 

El punto J es el punto de intersección de los segmentos [HF] y [EG].

 

Señala la respuesta correcta:

 

·        El triángulo EGB es rectángulo en G

 

VERDADERO                                   FALSO

 

·        El triángulo IAJ es isósceles

 

VERDADERO                                   FALSO

 

·        El triángulo AEJ es rectángulo en E.

 

VERDADERO                                   FALSO

 

·        El triángulo AEJ es isósceles.

 

VERDADERO                                   FALSO

 

 

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37.- UN TEST

 

Un mismo test se ha pasado en dos clases.

 

La primera clase, compuesta por 20 alumnos, ha obtenido una media de 12,30

 

La segunda clase, compuesta por 30 alumnos, ha obtenido una media de 14,80

 

¿Cuál es la media del grupo formado por los 50 alumnos de estas dos clases? (Elige la respuesta correcta)

 

12,55 

 

13,30 

 

13,55 

 

13,80 

           

 

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38.- TRIÁNGULO Y COORDENADAS

 

En un sistema de referencia ortonormal del plano se consideran los puntos: A ( 2 ; 4 ) ; B( 8 ; 3 ) ; C(10 ; 12 )

 

¿El triángulo ABC es rectángulo?

 

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39.- SECCIÓN DE UN CUBO

 

He aquí un cubo dibujado en perspectiva. En realidad, este cubo tiene una arista de 4 cm. Se le descompone en dos prismas rectos al cortarlo según el plano DBFH.

 

DIBUJA, con sus dimensiones reales, la cara DBFH común a estos dos prismas.

 

 

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40.- UNA ECUACIÓN

 

Resuelve la siguiente ecuación: ( 3x + 5 ) ( x - 2 ) - ( x + 4 ) ( x - 2 ) = 0

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41.- UNA PIRÁMIDE

 

Sea una pirámide ABCD. Sea P un punto de la arista [AB], y sea Q un punto de la arista [AC]. Se supone que PQ no es paralela a BC (ver figura). Se pide trazar la intersección de la recta PQ con el plano BCD. Justifica tu respuesta.

 

 

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42.- VOLÚMENES

 

La figura representa cuatro sólidos: un cono de revolución, un cilindro de revolución, una pirámide y un prisma recto.

El cono tiene un volumen de 24

 

El cilindro y el cono tienen la misma área de la base.

 

La pirámide y el prisma tienen un área de la base doble que la del cilindro.

 

La altura del cilindro es el doble que la del cono.

 

Las alturas de la pirámide y del prisma son triple que la del cono.

 

¿Cuál es el volumen de la pirámide?

 

¿Cuál es el volumen del prisma?

 

¿Cuál es el volumen del cilindro?

 

 

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43.- PLANOS Y PIRÁMIDE

 

Sea ABCD una pirámide.

 

Sean B’, C’ y D’ los puntos medios respectivos de los segmentos [AB], [AC] y [AD].

 

Demuestra que los planos (BCD) y (B’C’D’) son paralelos.

 

 

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44.- SISTEMA DE ECUACIONES

 

Sea los sistemas A y B siguientes:

 

En cada caso, tacha las afirmaciones falsas:

 

A)                 El sistema A admite - no admite una solución única

 

B)                El sistema B admite - no admite una solución única

 

Justifica las respuestas

 

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45.- CAMISAS Y PANTALONES

 

Un almacen tiene camisas y pantalones.

 

Todas las camisas se venden al mismo precio unitario.

 

Todos los pantalones se venden al mismo precio unitario.

 

Juan ha pagado 570 euros por 7 camisas y 3 pantalones.

 

Sofía ha pagado 730 euros por 3 camisas y 7 pantalones.

 

CALCULA el precio de una camisa y el precio de un pantalón.

 

           

 

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46.- CÍRCULOS

 

Sean tres puntos B, C, D alineados y un punto A no situado sobre la recta (BC).

 

Se llama O, O’ y O” a los centros de los círculos de diámetros respectivos  [AB], [AC] y [AD].

 

Demuestra que los puntos O, O’ y O” están alineados.

 

 

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47.- PRÉSTAMO

 

Una persona ha prestado sin interés 1000 euros.

 

Ha reembolsado ya una suma S.

 

Le queda por reembolsar una suma igual a los 2/3 de la suma S ya rendida.

 

Calcula la suma S explicando los cálculos con detalle.

 

 

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48.- AUMENTO

 

Tras un aumento del 40%, un objeto vale 84 euros. ¿Cuánto valía antes de este aumento?

 

Explica lo que haces para encontrar las respuesta.

 

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49.- SECCIÓN

 

Un paralelepípedo ABCDD’C’B’A’ está dibujado aquí en perspectiva. Se ha señalado un punto I sobre el segmento [DC].

 

Dibuja, sobre esta figura, la sección del paralelepípedo por el plano que pasa por los puntos A, A’ e I.

 

 

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50.- COMPARACIONES

 

Sean 4 cuadrados ABCD de lado a. Los puntos R, S, T y U son los puntos medios de los lados.

 

Se consideran las cuatro líneas poligonales cerradas sombreadas en gris, cuyas longitudes respectivas se denotan por I1, I2, I3, I4 y las áreas sombreadas por S1, S2, S3, S4.

 

Los índices 1, 2, 3, 4, corresponden a las figuras que llevan los mismos números. Se puede entonces afirmar que...(elegir la o las respuestas correctas)

 

l1 < l2 < l3      

 

l1 < l3 < l4      

 

Dos de las 4 longitudes son iguales        

 

Tres de las 4 áreas son iguales                

 

 

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51.- DEPÓSITO

 

Un depósito de fuel-oil tiene una capacidad de 2500 litros. Tiene la forma de un paralelepípedo rectángulo de 2 metros de largo y 1 metro de ancho. ¿Cuál es la altura del depósito?

 

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52.- CUADRADO Y TRIÁNGULO

 

Determina X de forma que el cuadrado y el triángulo equilátero tengan el mismo perímetro.

 

 

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53.- UN MUSEO

 

El primer año de su apertura al público, un museo es visitado por 250000 personas. Durante los años siguientes, se registra una disminución anual del 8% en el número de visitantes

 

a)                  ¿Cuál ha sido, en estas condiciones, el número de visitantes del décimo año? ¿Cuál ha sido el número total de visitantes a lo largo de los dos primeros años?

 

b)                 ¿Cuál ha sido, en estas condiciones, el número de visitantes del quinto año? ¿Cuál ha sido el número total de visitantes a lo largo de los cinco primeros años?

 

c)                  ¿Cuál será, en estas condiciones, el número de visitantes el enésimo año? ¿Cuál ha sido el número total de visitantes a lo largo de los n primeros años?

 

d)                 Se han impreso 2000000 de billetes. En estas condiciones, ¿habrán suficientes billetes para los diez primeros años?

 

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54.- PARALELOGRAMOS

 

ABCD es un paralelogramo de centro O.

 

K es un punto variable del segmento [BD].

 

El punto M es el simétrico del punto K respecto del punto O.

 

Los cuadriláteros AEKG y MH’CF’ son paralelogramos

 

Llamamos S al área del paralelogramo AEKG.

 

a)                  Demuestra que otros 7 paralelogramos de la figura tienen un área igual a S.

 

b)                 ¿Es cierto que Área (ABCD) - Área (KLMN) = 4S?

 

c)                  ¿Cómo hay que elegir K para que S sea máxima?

 

 

 

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55.- VENTAS DE CD’s

 

Las gráficas dan informaciones sobre las ventas de CD y otros medios de registro de sonido en Zedlandia. El Zed es la unidad monetaria en Zedlandia.

 

Con la ayuda de las dos gráficas, calcula cuánto dinero han gastado en CD’s los jóvenes entre 12 y 19 años en el año1992. Muestra tu trabajo.

 

        

 

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56.- ÁREA

 

Cada uno de los cuadrados pequeños de la figura es un cuadrado unidad. De las siguientes respuestas, ¿cuál es la mejor estimación del área de superficie sombreada?

 

A.                 10 cuadrados unidad ?

 

B.  12 cuadrados unidad ?

 

C.                14 cuadrados unidad ?

 

D.  16 cuadrados unidad ?

 

E.  18 cuadrados unidad ?

 

 

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57.- FRENAZO

 

Elena ha salido a dar una vuelta en coche. Durante el trayecto, un perro ha atravesado la carretera, delante del coche. Elena ha frenado a fondo para evitar al perro.

 

Ligeramente conmocionada, Elena ha decidido volver a casa por una ruta más corta. La gráfica muestra la variación de la velocidad del coche durante el trayecto.

 

a)                  ¿Cuál ha sido la velocidad máxima del coche durante el trayecto?

 

b)                 ¿A qué hora ha frenado Elena para evitar al perro?

 

 

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58.- VUELOS

 

Un periodista de televisión ha mostrado la siguiente gráfica, diciendo: “Hay un enorme aumento del número de vuelos esta año”.

 

¿Consideras que la afirmación del periodista es una interpretación correcta de la gráfica? Explica tu respuesta.

 

 

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59.- LA PISCINA

 

Sobre un terreno triangular, se quiere construir una piscina rectangular de forma que uno de los lados dé acceso directamente a la calle (como en la figura).

 

¿Cómo hacer para que el área de la piscina sea lo más grande posible?

 

 

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