PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS PARA HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES

 

1.            En Astronomía, como unidades de longitud, además del año luz, se utilizan el pársec y la unidad astronómica (UA). Sabiendo que 1 año luz = 9,.46´1015 m, completa:

a)     1 parsec = 3,26 años luz =.............................m

b)     1 año luz =..............................parsec =.................................m

c)     1 unidad astronómica = 150000000 km =..................................años luz.

 

 

2.            Para medir las longitudes de los átomos se utilizan unidades de medida pequeñas, como el angstrom, que es igual a 10-10 m, y el fermi, que es igual a 10-15 m.

a)     ¿Cuántos fermios contiene un angstrom?

b)     Escribe el radio del protón (1,2´10-13 cm) en angstroms y en fermios.

 

3.            Una persona tiene 475 francos franceses, 315 libras, 125 dólares USA y 190 marcos alemanes. Los cambios son:

 

1 franco=0,25 euros

1 dólar=1,477 euros

1 libra=2,356 euros

1 marco=0,844 euros

 

Calcula cuántos euros tiene en total.

 

4.            Esta sucesión de imágenes cuadradas cumple que el lado de cada imagen mide la mitad del lado de la anterior.

 

 

a)     Si el lado de la primera figura (la más grande) mide ½ m, ¿cuánto mide el lado de la tercera? ¿Y el de la cuarta? ¿Y el de la quinta?

b)     Si las imágenes que miden menos de 1/100 del lado de la primera figura no se puede reconocer, ¿cuántas imágenes podremos ver a simple vista? ¿Cuántas no se podrán ver a simple vista?

c)     ¿A qué valor se aproximan los lados de estas figuras?

 

5.            Un satélite artificial es lanzado al espacio. Una hora después del lanzamiento entra en órbita. Da una vuelta completa a la Tierra cada 90 minutos.

a)     Haz una tabla que relacione el número de vueltas realizadas con el tiempo empleado desde que se ha lanzado.

b)     Halla el término general de una sucesión que nos permita calcular, a partir del número de vueltas realizadas, el tiempo transcurrido desde que se ha lanzado.

 

6.            Una pulga se halla a un metro de distancia de una pared, a la que quiere llegar. Comienza a saltar, pero lo hace de una manera especial: la longitud de cada salto es la mitad de lo que queda para llegar a la pared.

a)     ¿A qué distancia de la pared se encuentra después del primer salto? ¿Y después del segundo?

b)     Continua  los cálculos del apartado anterior hasta el décimo salto.

c)     Halla el término general de una sucesión que permita calcular la distancia que le queda para llegar, conociendo el número de saltos realizados.

d)     Si sigue el mismo sistema, ¿llegará a la pared? ¿Por qué?

 

7.            Queremos llenar un depósito cilíndrico con un grifo de donde sale agua con un caudal constante. Hemos medido la altura del nivel de agua cada cierto tiempo y hemos obtenido esta tabla:

 

Tiempo (minutos)

0

5

8

12

Altura (cm)

0

12,5

20

30

 

a)     Dibuja una gráfica que represente la relación entre el tiempo y la altura. Sitúa en el eje de abcisas los valores del tiempo y en el eje de ordenadas, los de la altura.

b)     ¿A qué altura se halla el nivel a los 10 minutos de haber comenzado a entrar agua en el depósito? ¿Y a los 4 minutos? ¿Cuánto sube el nivel cada minuto?

c)     Busca una fórmula que nos permita hallar directamente la altura para cada valor del tiempo.

d)     Si duplicamos o triplicamos el tiempo, ¿también se duplica o triplica la altura?

e)     Si dividimos por dos o por tres el tiempo, ¿qué pasa con la altura?

 

8.            Por cambiar la tapicería de unos muebles, un tapicero cobra 200 euros fijos por el transporte y 25 euros por cada metro cuadrado de tela.

a)     Prepara una tabla con la que se pueda calcular la cantidad que cobrará según la tela necesaria, de 5 en 5 m2.

b)     Construye una gráfica que relacione la superficie de la tela con el dinero cobrado.

c)     Halla una fórmula que nos pemita calcular directamente el dinero a partir de la cantidd de tela empleada.

d)     Si doblamos o triplicamos la superficie de tela, ¿también se dobla o se triplica el precio? ¿Por qué?

e)     Si dividimos por dos o por tres la superfice de tela, ¿qué pasa con el precio? ¿Por qué?

 

9.            Hemos de cambiar los cristales de unas ventanas cuadradas. El precio del cristal es de 5 euros/dm2.

a)     ¿Cuánto costará el cristal de una ventana cuadrada de 7 dm de lado? ¿Y si es de 5 dm?

b)     Construye una tabla de valores que relacione el lado de la ventana con el coste del cristal.

c)     Halla una fórmula que permita calcular directamente el coste para cada longitud del lado de la ventana.

d)     Dibuja la gráfica correspondiente. ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?

 

10.       Queremos dibujar un rectángulo de 36 cm2 de área.

a)     Si la longitud de la base es igual a 1 cm, ¿qué altura ha de tener?

b)     Si queremos obtener una base de 12 cm, ¿cuál será la longitud de la altura?

c)     Construye una tabla de valores que relacione la longitud de la base con la de la altura.

d)     Escribe la fórmula que permite hallar la altura necesaria para un rectángulo de área 36 cm2, a partir de la longitud de la base.

e)     Dibuja la gráfica correspondiente.

 

11.       El movimiento de un coche está representado por la siguiente gráfica:

 

 

a)     ¿Es la gráfica de una función? ¿Por qué?

b)     ¿Qué representa la variable independiente? ¿Y la variable dependiente?

c)     ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el coche? ¿Cuánto tiempo ha utilizado para hacer todo el recorrido?

d)     ¿Cuál es la imagen de 25? ¿Qué significado tiene esta imagen?

e)     ¿Cuál es la antimagen de 40? ¿Qué significado tiene esta antimagen?

f)    ¿Entre qué instantes ha ido el coche más deprisa? ¿Cuánto tiempo se ha parado?

g)     Haz una tabla de valores de esta función en que el tiempo varíe de 5 en 5 minutos.

h)     ¿Podemos hallar la fórmula de esta función? ¿Por qué?

 

12.       La siguiente gráfica representa el coste de una llamada teléfonica desde una cabina según su duración. Cuando comienza la comunicación caen las primeras monedas, y cuando se cumple el minuto 3 el aparato traga más. Cada tres minutos vuelven a caer monedas.

 

 

a)     Identifica las variables independiente y dependiente.

b)     ¿Es una función la relación entre estas variables?

c)     ¿Cuál es el dominio y el recorrido?

d)     ¿Cuánto cuesta una llamada de veinte minutos? ¿Y una de siete? ¿Y una de dos?

e)     Si solo puedo gastarme 75 euros, ¿durante cuánto tiempo podré hablar?

f)    ¿Es posible que pueda gastarme exactamente 50 euros? ¿Por qué?

g)     ¿Por qué crees que hay trozos de la gráfica que no están unidos? ¿Los podemos unir? ¿Por qué?

 

13.       A partir de la variación de temperatura de un enfermo durante todo el dia se ha construído esta gráfica:

 

 

a)     ¿Crees que representa una función? ¿Por qué?

b)     ¿Cuál es dominio y el recorrido?

c)     ¿Entre qué horas bajó la temperatura?

d)     ¿Entre qué horas subió?

e)     ¿A qué horas la temperatura era superior a la de un poquito antes y a de un poquito después? ¿Qué temperatura tenía en esos momentos?

f)    ¿A qué horas la temperatura era inferior a la de un poquito antes y a la de un poquito después? ¿Qué temperatura tenía en esos momentos?

 

14.       (Curva de posibilidades de producción)

La relación que hay entre la producición agrícola y la producción industrial viene dada por la siguiente curva de posibilidades de producción:

 

 

Una hipotética sociedad totalmente agrícola, vendría representada por el punto P; es decir, tendría una producción agrícola OP y una producción industrial 0. Si en esta sociedad se hacen unas transformaciones para conseguir también cierta producción industrial, la producción agrícola disminuirá.

 

Supongamos que la sociedad queda representada por el punto Q, con una producción agrícola OA y una producción industrial OM. Fíjate que con poca disminución de la producción agrícola (AP) se consigue un gran aumento de la producción industrial (OM).

 

Si, a continuación, la sociedad se situa en el punto R, la producción agrícola es ahora OB y la industrial es ON. En este caso, un pequeño aumento de la producción industrial (MN) ha provocado una notable disminución de la producción agrícola (BA).

 

Estas distintas variaciones de las producciones según si se producen cerca de un eje o de otro se deben a que la curva de posibilidades de producción es convexa. Analiza qué sucedería si la curva fuera cóncava.

 

15.       Los precios de venta de la leña en un almacén son:

 

Cantidad comprada (kg)

Precio por kg (euros / kg)

Hasta 50

12

Más de 50 y hasta 100

10

Más de 100

8

 

a)     ¿Cuánto nos costará la compra de 35 kg? ¿Y de 60 kg? ¿Y de 120 kg?

b)     Escribe una función que nos permita encontrar el coste de la compra según sea la cantidad.

c)     Dibuja la gráfica. ¿Es contínua? ¿Por qué?

d)     Después de mirar los precios, una persona que solo necesita 45 kg de leña compra 51. ¿Por qué crees que lo hace?

e)     Comenta el método de poner los precios que tienen en este almacén.

 

16.       Para llevar a cabo unas reformas en casa necesitamos la ayuda de un albañil y un carpintero. El albañil cobra 20 euros por desplazamiento y 15 euros por hora trabajada, mientras que la tarifa del carpintero es de 25 euros de desplazamiento y 10 euros por hora trabajada.

a)     Halla la función que da el coste del albañil según las horas de trabajo.

b)     Halla la misma función para el carpintero.

c)     Completa la siguiente tabla:

 

Horas

0

1

2

3

4

5

Coste del albañil

 

 

 

 

 

 

Coste del carpintero

 

 

 

 

 

 

Coste total

 

 

 

 

 

 

 

d)     Representa gráficamente en los mismos ejes de coordenadas la función del coste del albañil, la del carpintero y, a partir de la tabla anterior, y suponiendo que trabajan los dos a la vez, la del coste total.

e)     ¿Cuál es la fórmula de la función del coste total? ¿Qué relación tiene con las fórmulas de los apartados a y b?

 

17.       En una frutería se guardan 20 kg de plátanos, esperando el mejor momento para ponerlos en venta. Cuando se han almacenado los plátanaos, iban a 1 euro/kg. Cada día que pasa el precio aumenta 10 céntimos/kg. Ahora, la tienda no reune buenas condiciones y cada día que pasa se estropea 1 kg de fruta.

a)     Halla la función que da la cantidad de plátanos en buen estado según los días que están en la frutería.

b)     Halla función que da el precio del kilo de plátanos cada día.

c)     Completa la siguiente tabla:

 

Días

0

1

2

3

4

5

Kg de plátanos en buen estado

 

 

 

 

 

 

Precio del kg

 

 

 

 

 

 

Dinero ingresado por la venta total

 

 

 

 

 

 

 

d)     Representa gráficamente las tres funciones que se obtienen de esta tabla.

e)     Halla la fórmula de la función de la última fila de esta tabla.

 

18.       Una empresa publicitaria trabaja con vallas rectangulares, en las que la longitud de la base es el doble de su altura. Los instaladores de estas vallas cobran 20 euros por el desplazamiento y 10 euros por cada m2 de valla.

a)     Halla la función que da la superficie de cada valla a partir de la longitud de su altura.

b)     Halla la función que da el coste de cada valla a partir de su superficie.

c)     Completa la siguiente tabla:

 

Longitud de la base en m

Superficie de las vallas en m2

Coste de las vallas en euros

2

 

 

4

 

 

6

 

 

8

 

 

10

 

 

 

d)     Halla la función que indica el coste de las vallas a partir de la longitud de la base.

 

19.       En un aparcamiento vigilado cobran la siguiente tarifa:

 

Primera hora o fracción

2,25 euros

Horas siguientes o fraciones

1,75 euros

 

a)     Haz una tabla para las tres primeras horas de estancia en el aparcamiento, calculando el precio de 20 en 20 minutos.

b)     Representa la gráfica de puntos a partir de la tabla anterior.

c)     Completa la gráfica de la función que relaciona el tiempo de estancia en el aparcamiento con el precio.

d)     ¿Es contínua esta función? ¿Por qué?

 

20.       Suponemos que el impuesto de circulación de coches en un país determinado se paga tal como se indica en esta tabla:

 

Precio del coche en euros

Tasa

Hasta 15000

10%

Más de 15000 y hasta 40000

15%

Más de 40000

20%

 

a)     ¿Cuánto se ha de pagar por un coche de 15500 euros? ¿Y por uno de 30000 euros? ¿Y por uno de 46573,45 euros?

b)     Escribe la fórmula de una función que permita hallar el importe del impuesto según el precio del coche.

c)     Dibuja la gráfica de esta función. ¿Es contínua? ¿Por qué?

 

21.       Se está llenando de agua un depósito cilíndrico a una velocidad de 2 dm3 por minuto. La base del cilindro tiene un radio de 5 dm.

a)     Escribe la fórmula de la función V(t) que permite conocer el volumen en dm3 de agua que hay dentro del depósito a partir del tiempo en minutos.

b)     Escribe la fórmula de la función h(v) que da la altura del nivel de agua en dm que hay en el depósito a partir de su volumen.

c)     Haz la composición de las dos funciones anteriores y halla la fórmula de la función h(t), que permite saber la altura del nivel de agua a partir del tiempo.

 

22.       La tarifa del recibo del agua en una determinada ciudad está organizada de la siguiente manera:

Un consumo inferior o igual a los 18 m3 se paga a 0,43 euros/m3

Si el consumo es superior, los primeros 18 m3 se pagan también a 0,43 euros/m3. El resto se paga a 0,87 euros/m3.

a)     ¿Qué coste tiene un consumo de 20 m3? ¿Y de 15 m3? ¿Y de 32 m3?

b)     Halla la función que describe la forma de pago según el consumo.

c)     Dibuja el gráfico de la funciòn. ¿Es contínua? ¿Por qué?

 

23.       Suponemos que la demanda de un determinado producto en un mes en función del precio viene dada por la siguiente tabla:

 

Precio

Demanda

100

1700

200

1400

300

1100

500

500

 

a)     Escribe la fórmula que relaciona el precio con la demanda de este producto.

b)     Representa gráficamente esta función.

c)     Comenta la relación entre la variación del precio y la variación de la demanda.

 

24.       Suponemos que la oferta del mismo producto en un mes, en función del precio, viene dada por la siguiente tabla:

 

Precio

Demanda

100

500

200

800

300

1100

500

1700

 

a)     Representa gráficamente esta función en el mismo gráfico que la función del problema anterior.

b)     Escribe la fórmula de la función que relaciona el precio con la oferta de este producto.

c)     Comenta la relación entre la variación del precio y la variación de la oferta.

d)     Halla el punto de equilibrio entre oferta y demanda.

 

25.       Una parte de la función que permite determinar la cuota íntegra del impuesto sobre la renta de las personas físicas (IRPF) es la siguiente:

 

 

         Usando la función definida a trozos anterior, calcula la cuota íntegra para una persona con una base liquidable de 40000 euros.

 

26.       En un hotel quieren instalar un sistema para poder cobrar el uso de los televisores que hacen los clientes en su habitación. Un posible sistema consiste en hacer funcionar el televisor a base introducir monedas. Así, cuando un cliente quiere enchufarlo, ha de poner una moneda de 1 euro. Con esta moneda lo podrá tener conectado. Si no pone otra, se desconectará. Cada media hora deberá poner una moneda de 1 euro.

 

Otro método consiste en colocar un contador que registre el tiempo en segundos que ha estado en funcionamiento el aparato. Para saber lo que ha de pagar cada cliente, se aplicará la fórmula: Precio=Tiempo´0,06.

 

a)     Haz una tabla para cada sistema y calcula el precio de los tiempos de conexión siguientes: 15 min, 20 min, 30 min, 45 min, 60 min, 100 min y 120 min.

b)     Dibuja una gráfica para cada sistema a partir de las tablas anteriores y usando la misma escala para los ejes cartesianos. Razona si puedes unir los puntos o no.

c)     ¿Cuál de las dos gráficas representa una función contínua? ¿Y discontinua? ¿Por qué?