PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA

 

 

1.            Una correa conecta dos poleas de radios r=10 cm y R=25 cm. Si la grande da un giro completo, ¿qué ángulo expresado en grados habrá girado la pequeña?

 

 

2.            Un aspersor funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de giro, de ida y vuelta, de 60º. Si el chorro de agua alcanza 16 m, halla el área A de la superficie de césped regada.

 

3.            En un sprint, los ciclistas alcanzan una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas, es decir, cuántos grados gira por segundo?

 

 

4.            Dos casas A y B están separadas por una charca. Un topógrafo camina 180 m desde A formando un ángulo de 40º, hasta un punto C, desde el que ve la casa B con un ángulo de 90º. Se detiene, saca su calculadora y halla la distancia AB. ¿Sabes cómo?

 

 

5.            Una montaña de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se ve la cima C de la montaña con un ángulo de elevación de 24º, y desde B con 36º. ¿Cuál es la distancia d entre los dos pueblos?

 

6.            Estima el radio R de la Luna sabiendo que para un observador en la Tierra abarca un ángulo aproximado de 32’. (Distancia Tierra-Luna=384400 km)

 

 

7.            Calcula la altura de la montaña de la siguiente figura:

 

 

8.            Calcula la altura de la antena que está sobre el tejado de la casa:

 

 

9.            Un ebanista debe reproducir un tablero triangular del que sólo se conserva el fragmento que indica la figura. ¿Qué dimensiones tenía la pieza original?

 

 

10.        Supongamos que las órbitas de la Tierra y de Venus en torno al Sol son círculos de radios respectivos 150000000 km y 109000000 km. ¿A qué distancia se encuentra Venus de la Tierra cuando el ángulo de observación Sol-Tierra-Venus (ángulo a en la figura) es de 22º?

 

 

11.        Dos motoristas parten del punto en el que se bifurcan dos carreteras rectas que forman un ángulo de 55º. Viajan a 90 km/h y a 120 km/h, respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran uno de otro al cabo de 3 minutos?

 

 

12.        Desde un punto A de la costa se divisa una isla cercana. Con los datos de la siguiente figura, ¿puedes calcular la longitud de la isla?

 

 

13.        Mirando a lo alto de un rascacielos lo vemos con un ángulo de elevación de 60º. ¿Con qué ángulo de elevación lo veríamos desde una distancia doble?

 

14.        Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, distante 350 m, y alcanza una distancia de 180 m. Pero el golpe ha sido defectuoso y la dirección de la pelota forma un ángulo de 20º respecto de la dirección hacia el hoyo. ¿A qué distancia del hoyo ha quedado su pelota?

 

 

15.        En la siguiente figura vemos una rueda grande con otra más pequeña fijada a ella. Se desplazan girando a la vez, una sobre el riel AB y la otra sobre el CD. En este trayecto ambas ruedas han recorrido la misma distancia (porque AB=CD) y han dado el mismo número de vueltas (porque están unidas rígidamente una a otra). De donde concluímos que las dos tienen la misma longitud de circunferencia. ¿Qué te parece?

 

 

16.       Halla el valor del ángulo A en el triángulo de la siguiente figura, sabiendo que los radios de los tres círculos son 40,6 cm, 1 m y 1,64 m. Halla también los ángulos B y C de la misma figura.

 

17.       Un avión despega del aeropuerto de Valencia con un ángulo de inclinación de 4º. A 1 km del punto de despegue, en su dirección de vuelo, hay un edificio de 57 m de altura. ¿Colisionará con él?

 

18.       Para establecer normas internacionales de circulación aérea se ha definido una atmósfera estándar correspondiente a la atmósfera media en países templados. En este modelo, la temperatura en la troposfera (la capa más baja de la atmósfea) desciende 6,5ºC por cada aumento de altitud de 1000 m, y la que existe a nivel del mar es de 15ºC. a) Escribe una ecuacion que exprese la temperatura T en función de la altitud A (en kilómetros); b) Si el piloto del avión comercial comunica que la temperatura exterior es de -37ºC, ¿a qué altitud se encuentra aproximadamente el avión?

 

 

19.       La presión en la superficie del mar es de 1 atm. El descenso más profundo en un oceáno lo efectuó el batiscafo Trieste en 1960, bajando a 10916 m de profundidad. Registró allí una presión de 1837 atm. Suponiendo que la presión P depende linealmente de la profundidad h: a) Halla una ecuación lineal P=mh+b que exprese P en términos de h; b) ¿A qué profundidad podrá descender un batiscafo que tolera 1600 atm de presión?

 

 

20.       Se ha comprobado, en un tipo particular de pacientes, que la relacion entre el riesgo coronario R y el nivel de colesterol C, cuando este último está por encima de 210, es lineal. Sabiendo que el riesgo coronario a un nivel de colesterol de 210 es 0,160 y a un nivel de 231 es 0,192: a) Halla una ecuación que exprese R en función de C; b) ¿Qué riesgo coronario corresponde a un nivel de colesterol de 260?

 

 

21.       Se invierten 1500 euros en un aparato que a los 10 años se habrá deteriorado y no tendrá valor alguno. Suponiendo que su depreciación en esos años es lineal: a) Halla una ecuación que exprese el valor V (en euros) en función del tiempo transcurrido T (en años); b) ¿Qué valor tendrá el aparato 3 años después de su adquisición?

 

22.       Dado el triángulo de vértices A(-2, 5), B(-1, 3) y C(6, 1): a) Halla su baricentro; b) ¿Es rectángulo?; c) Halla las tres alturas; d) Calcula su área.

 

 

23.       Dadas las rectas 4x-ky=0 y x+3y-2=0, determina el valor de k para que: a) sean perpendiculares; b) sean paralelas. Halla el punto de intersección en el primer caso, y la distancia entre las rectas, en el segundo.

 

 

24.       ¿Qué ángulos forman las rectas r y s?

 

25.       Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 0) y es perpendicular a la recta 2x-5y=3.

 

26.       Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos P(3, 0) y Q(-3, 0) sea igual  a 5.

 

27.       Halla los vértices de un trapecio rectangular sabiendo que dos de sus vértices son A(1, 1) y B(2, 1) y que los otros dos están sobre la recta x-y+1=0.

 

28.       Halla los vértices de un rombo sabiendo que el vértice es el punto A(3, 0), que el vector BC tiene la misma dirección que el  y el área es 6 unidades cuadradas.

 

29.       Halla el tercer vértice de un triángulo de área 6, vértices A(1, -3), B(2, 1), sabiendo que está sobre la recta x+y+3=0

 

30.       Un paralelogramo tiene un vértice en el punto A(3, 2) y dos de sus lados son las rectas de ecuaciones 3x+3y-7=0, x-3y+4=0. Se pide: a) Ecuaciones de los otros dos lados; b) Coordenadas de los otros tres vértices.

 

31.       Halla la ecuación de la recta paralela a 3x+6y+5=0 que tenga por ordenada en el origen 2.

 

32.       Halla la ecuación del rayo reflejado del 2x+3y-5=0 sobre la recta y-2x=0

 

 

33.       Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 0), B(-1, 0) y C(0, 3). Halla su centro y su radio. Halla la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia en el punto C(0, 3). Estudia la posición relativa de esta circunferencia con la recta x-y=0. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a esta circunferencia paralelas a la recta x-y=0.

 

34.       Halla la ecuación de una elipse que tiene por ejes los cartesianos y pasa por los puntos M(-2, 5) y N(1, 7). Obtén las coordenadas de los vértices y los focos de dicha elipse.

 

35.       Sea la hipérbola de ecuación . Represéntala gráficamente. Halla los puntos de intersección con el eje de abcisas y las coordenadas de los focos. Halla las ecuaciones de las asíntotas.

 

36.       Halla la ecuación de la parábola con foco en el punto A(2, 3) y vértice en el punto B(1, 1).

 

 

37.       Halla la ecuación de la directriz y las coordenadas del foco de la parábola

 

38.       Dos personas situadas en dos puntos M y N distantes 1 kilómetro, hacen sendos disparos al aire con un intervalo de 1 segundo. Dibuja algunos puntos donde debe situarse una tercera persona para oír simultáneamente los dos disparos. ¿Cuál es el lugar geométrico de todos esos puntos? ¿Y si los puntos M y N estuvieran situados a 200 metros de distancia?

 

39.       Para localizar una fuente sonora, dos escuchas A y B, que tienen sincronizados sus relojes, anotan cuánto tiempo ha transcurrido entre la percepción del sonido por A y por B (por ejemplo, 3 segundos). ¿Dónde puede estar situada la fuente sonora? Si otro par de escuchas, C y D, situados en lugares distintos de los de A y B, utilizan el mismo procedimiento, entonces entre los cuatro sí pueden localizar la fuente sonora de manera inequívoca. ¿Cómo crees que lo harán?

 

40.       Un barco puede conocer su posición recibiendo señales emitidas simultáneamente por las estaciones P y Q; y señales emitidas simultáneamente por las estaciones R y S. ¿Cómo determinarías por este procedimiento la situación de tu barco?

 

 

41.       Considera un cuadrado y una circunferencia inscrita en él. Suponiendo el cuadrado deformable de manera que pueda transformarse en la figura ABC’D’, la circunferencia se transforma entonces en otra curva. Dibuja varios puntos de esta última, pensando primero qué procedimientos vas a seguir.

 

 

42.       Imagínate una mesa de billar en forma de elipse. Sitúa una bola en uno de los focos. Dibuja la trayectoria que seguirá la bola cuando la impulses con el taco. ¿Cómo deberías impulsar la bola para que su trayectoria no pasar por el foco?

 

 

43.       La Tierra tiene forma elipsoidal. Desde 1743 en que las medidas de la Tierra se hicieron más precisas, se sabe que el eje polar es aproximadamente 40 kilómetros más corto que el diámetro del ecuador, esto es, una parte en 300. Esta diferencia entre los ejes corresponde a una excentricidad de 1/12 aproximadamente. Diámetro en el ecuador: 12760 km, Diámetro en los polos: 12720 km. Dibuja una elipse de excentricidad 1/12. ¿Tiene la misma forma que un corte de la Tierra?

 

44.       Las excentricidades de las órbitas planetarias con pequeñas. Las más grandes son las de Mercurio (aproximadamente 1/5) y Plutón (aproximadamente 1/4). La de Marte es 1/11 aproximadamente y la de la Tierra es de 1/60 aproximadamente. Entre los planetas no se dan casos de excentricidades próximas a 1, pero sí entre los cometas, como el Halley: 0,9675. Dibuja elipses con esas excentricidades y compara sus formas.

 

 

45.       Se lanzan objetos con una velocidad inicial de 300 m/s. ¿Con qué ángulo de elevación se han de lanzar para alcanzar a un objeto que se encuentra fijo a 3 km de altura y 3 km de distancia horizontal?. Ídem a 4 km de altura y 4 km de distancia horizontal. Intrepreta los resultados.

 

 

46.       Se ha medido el lado de un cubo con el resultado L=20,5±0,5 cm. ¿Qué se puede decir acerca de su volumen?

 

 

47.       Sabiendo que un OVNI ha recorrido s=2,5±0,1 km en t=4,3±0,1 s estima su velocidad y halla una cota de error relativo para esa estimación.

 

 

48.       Se han medido las longitudes en metros de dos vigas, con los resultados 4,8±0,2 y 4,2±0,1. Da una estimación de la suma de las longitudes de las dos vigas y un cota del error cometido.

 

49.       La altura h (en metros) de una piedra que dejamos caer desde una altura de 19,6 m, viene dada en función del tiempo t (en segundos) por la fórmula h=19,6-4,9×. Halla el dominio de esta función. ¿A qué altura se encuentra la piedra en el instante t=0, t=0,5 y t=2?

 

50.       En una cartulina cuadrada de 12 cm de lado se cortan esquinas iguales en forma de cuadrados de lado x, con el fin de hacer una caja (sin tapa). Se desea saber para qué corte x tendrá volumen máximo la caja así obtenida. (a) Expresa el volumen V de la caja como una función V(x) de la longitud x del corte. (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) Estima en una gráfica de V(x) para qué x se consigue el máximo volumen.

 

 

51.       Con 100 m de valla se quiere acotar un campo rectangular. Sea x la medida de una de sus lados. Escribe una expresión del área A del campo en funcion de x. ¿Cuál es el dominio de esta función? Haciendo una gráfica, estima aproximadamente para qué valor de x se consigue que el campo tenga área máxima.

 

52.       Un arquero lanza una flecha con trayectoria parabólica , donde x e y se miden en metros. Calcula: (a) La altura inicial de la que parte la flecha, (b) El alcace final , (c) La altura máxima alcanzada.

 

 

53.       Una persona en reposo inspira y espira 0,5 litros de aire cada 4 segundos. Al final de una espiración, le quedan todavía 2,25 litros de aire de reserva en sus pulmones. El volumen de aire en sus pulmones, t segundos después de una espiración, es - Dibuja la gráfica de esta función.

 

 

54.       Un animal, cuya respiracion viene expresada por la fórmula  con V en litros y t en segundos, ¿cada cuánto tiempo inspira aire? ¿Cuáles son el volumen máximo y mínimo de aire en sus pulmones? ¿En qué fase de la respiración se encuentra cuando t=12?

 

55.       La extensión E (en millones de kilómetros cuadrados) de nieve en el hemisferio norte, en función del tiempo t (medido en semanas, de 1 a 52, a partir del 1 de enero) viene dada aproximadamente por . (a) ¿En qué semana predice esa fórmula la mínima extensión de nieve? (b) ¿Cuál es esa extensión mínima?

 

56.       La siguiente figura representa la variación que va sufriendo el voltaje de un circuito de corriente alterna. Escribe una función cuya gráfica sea análoga a la de esa oscilación amortiguada.

 

57.       Un país tiene una población de 110 millones de habitantes y se espera que se duplique en 25 añós. Estima su población dentro de 40 años. ¿Cuál será la poblacion dentro de 60 años?

 

58.       Un isótopo radiactivo de galio, utilizado en el diagnóstico de tumores malignos, tiene una semivida de 47 horas. ¿Cuántos miligramos quedarán, de una cantidad inicial de 250 miligramos, después de transcurridas 24 horas?

 

 

59.       En la datacion de restos arqueológicos se utiliza el carbono 14, que se desintegra de forma tal que una cantidad inicial Q0 se convierte al cabo de t años en Q=Q0×. (a) Calcula , a partir de esta información, la semivida del carbono 14. (b) Si un organismo contenía 500 miligramos de carbono 14 en el momento de su muerte, ¿cuánto queda tras 20000 años?

 

60.       En un resto fósil vegetal se detectan 44,5 miligramos de carbono 14, mientras que por comparación con un análogo vivo se calcula que en vida contenía unos 500 miligramos de ese elemento radiacivo. ¿Qué podemos concluir acerca de la antigüedad de ese fósil?

 

61.       Halla una función que describa la evolución de la población de Mèxico, que en 1980-1985 era, en millones de habitantes:

 

Año

1980

1981

1982

1983

1984

1985

Población

67,38

69,13

70,93

72,77

74,66

76,60

 

 

62.       El oído humano percibe un rango de intensidades sonoras I (medidas en vatios/m2) entre el umbral I0=10-12 y sonidos del orden de billones de veces más intensos. Al crecer la intensidad geométricamente, la sensacion percibida lo hace de forma aproximadamente aritmética. Se introdujo la escala de medida en belios y decibelios, en la cual un sonido de intensidad I tiene un nivel de intensidad de  decibelios. Calcula cuántos decibelios corresponden al sonido umbral y al del tráfico muy intenso ( vatios/m2). Calcula el nivel de decibelios de una conversación normal, cuya intensidad es de 3´10-5 vatios/m2. Si un sonido tiene 20 decibelios, ¿cuántos tiene uno cuya intensidad en vatios/m2 es diez veces mayor?

 

 

63.       Un capital de 1 millón de euros, invertido al k% de interés simple se convierte en t años en  millones. Dibuja en una gráfica la evolución de ese millón según se invierta: a) al 6%, b) al 3%,  c) al 1%.

 

64.       Si un capital inicial de 1 millón de euros se ve sometido a una inflación del k% anual, el poder adquisitivo de ese millón desciende. A los t años viene dado por . Dibuja en una gráfica la evolución del poder adquisitivo según que la inflación sea: a) 6%, b) 3%, c) 1%.

 

65.       Un autobús hace un viaje La Coruña-Valladolid, con el siguiente horario: La Coruña (km 0, hora: 7);  Lugo (km 105, hora: 8:10); Ponferrada (km 230, hora: 9:50); Astorga (km 300, hora: 11:00 y se detiene 30 minutos en Astorga); León (km 340, hora: 12:00); Medina de Rioseco (km 433, hora: 13:00); Valladolid (km 470, hora: 13:30). (a) Representa el viaje en una gráfica tiempo / espacio. (b) Halla la velocidad media del viaje. (c) ¿Cuál de los trayectos indicados ha recorrido con mayor velocidad media?

 

66.       Un taxista viaja a 120 km/h desde un pueblo de Huelva hasta Sevilla, distante 120 km, y regresa, tras recoger a un cliente, a 60 km/h. ¿Cuál es su velocidad media en todo el viaje?

 

67.       Se lanza una piedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s. La altura s de la piedra en el aire, en el instante t, viene dada por la función  ( t en segundos, con t=0 para el instante inicial; s en metros). Halla la velocidad media de la piedra en los intervalos temporales: [0, 1], [3, 4], [3, 3’1], [3, 3’01], [3, 3’001]. ¿Cuál es la velocidad instantánea de la piedra en el instante t=3? Calcula la velocidad instantánea de la piedra en los instantes t=1, t=2 y t=4.

 

68.       Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 100 m/s y ángulo de elevación a. El alcance A del lanzamiento viene dado por A=2000 ×sen a ×cos a. ¿Para qué ángulo se conseguirá el máximo alcance? ¿Cuál es ese alcance máximo?

 

69.       Halla el máximo valor posible del producto de dos números cuya suma sea 40.

 

 

70.       Un granjero quiere vallar dos recintos rectangulares idénticos y contiguos, de 12 m2 cada uno, para criar en uno de ellos gallinas y en el otro conejos. Halla las dimensiones que requieren la mínima cantidad de valla para su construcción.

 

 

71.       Disponemos de 20 metros de cuerda. ¿Cuál es el área rectangular máxima que podemos encerrar con dicha cuerda?

 

 

72.       Halla el punto de la recta y=2x-4 que se encuentra más cerca del punto P(3, 1).

 

73.       Una tráquea, de radio r en reposo, se contrae al estornudar y pasa a tener un radio menor x<r. La velocidad de expulsión del aire en el estornudo viene dada por la función . ¿Para qué valor del radio x de la tráquea contraída alcanza el aire la máxima velocidad de salida?

 

 

74.       Halla un valor aproximado mediante el método de los trapecios para el área de la región comprendida entre la gráfica de la función y=senx, desde x=0 hasta x=p/2, con un único punto de partición en x=p/4. Repite el mismo cálculo, pero con los tres trapecios que se obtienen al tomar como puntos de partición p/6 y p/3. Compara con el resultado exacto, que es 1.

 

75.       Usando como único punto de partición x=3, estima mediante el método de los trapecios, el valor del área bajo la gráfica de la función y=1/x entre x=1 y x=5. Repite el cálculo anterior usando puntos de partición en x=2, x=3 y x=4. ¿Has mejorado la aproximación?